組み合わせの計算方法
第７回おまけ

ここでは、組み合わせの数について、少し詳しく説明します。

組み合わせの求め方

「100個の数字の中から５つを選び出す選び方」が何通りあるかを求めるわけですが、これは数学では「組み合わせ」といいます。
一方、５つをどういう順序で選んだかまで考慮する場合は「順列」といって、どちらも「何通りあるか」を求める問題です。
少し簡単な例を挙げて説明しましょう。

８頭立てによる競馬で、連勝複式（組み合わせ）は何通りか？

さて、選び方を表にしてみましょう。

８	７	６	５	４	３	２	１
	８	７	６	５	４	３	２
		８	７	６	５	４	３
			８	７	６	５	４
				８	７	６	５
					８	７	６
						８	７
							８

競馬のオッズ表の形ですね。この組み合わせを数えてみると、１枠の相手が２〜８の７通り、２枠の相手が３〜８の６通り…ですので、

７＋６＋５＋４＋３＋２＋１＝28

で、28通りあることがわかります。が、いつもこうして数えるのは大変ですし、少し数が多くなるとお手上げです。そこで計算方法ですが、次のように考えます。

まず、選んだ数字の並び方まで考慮する「順列」（競馬でいえば連勝単式）が何通りあるかを計算します。
８枠のうちどれを１着に選ぶかは８通りありますね。２着は、１着に選んだ枠を除く７通りあります。

８×７＝56通り

と、なります。次に「組み合わせ」（競馬でいえば連勝複式）です。
選んだ２つの数字の並べ方は、「２つのうち１つを１着に選ぶ」わけですから、２通りです。

56÷２＝28通り

と、なります。
さて、一般にはどう計算するかというと、次のようにします。

ｎ個からｒ個選ぶ選び方（組み合わせ）は何通りか？

ｎ個からｒ個選ぶ「順列」は、最初の１個の選び方がｎ通り、次がｎ−１通り…これをｒ個までかければ良いわけです。
これを「nPr」と書き、「エヌピーアール」と読みます。

nPr＝n×(n-1)×･･･×(n-(r-1))

次に、選んだｒ個の並べ方は、最初の１個の選び方がｒ通り、次がｒ−１通り…ですので、結局ｒから１ずつ減じて１までかけることになります。これは「r!」と書いて「アールの階乗」と読みます。

r!＝r×(r-1)×･･･×1

よって、求める組み合わせの数は

nPr÷r!=(n×(n-1)×･･･×(n-(r-1)))÷(r×(r-1)×･･･×1)

で、これを「nCr」と書いて、「エヌシーアール」と読みます。
100個から５個選ぶ選び方は、

100C5＝100P5÷5!
＝(100×99×98×97×96)÷(5×4×3×2×1)
＝752,875,270通り

となります。