第32回　期待値の計算 | めぞん一刻５

ボーダー理論の解説の続きが進まない中、また気になる機種がでましたので期待値を計算してみました。

計算結果はシミュレータを作ってチェックしました。
もし間違いを見つけたらコメントいただけると大変嬉しいです。

0．Pめぞん一刻５の期待出玉

結果を先に書いておきます。

【表０】初当たりごとの期待出玉など

平均連チャン数（注１）	4.47 回
平均総ラウンド数（注２）	38.83 ラウンド
期待出玉（注３）	4659.18 玉
等価ボーダー	17.15 rpk

（注１）祝言滞在率17.5%（シミュレーション値）と仮定した場合の当たり1回の平均ラウンド数8.68で38.83を割ったもの
（注２）結果をシミュレーションで確認していますが、この数値は計算値
（注３）右打ち中の増減なし、アタッカーこぼれ・オーバー入賞なしの出玉

右打ち滞在が長いと想定されます（右が 1/130 ）ので右打ち中の増減は重要になりそうです。
右打ち中の死に玉、アタッカー周りのこぼれの程度次第ですが、打ってみたいです。
もし増やせる要素があれば尚更です。

１．Pめぞん一刻５のスペック

【表１】Pめぞん一刻５のスペック

大当たり確率	1/319.6
確変中確率	1/130
時短回数	初当たり時200回 / 右打ち中100回
アタッカー賞球	10カウント13個（2R/10R）
振り分け（ヘソ特図１）	10R 通常（時短200回）	40%
	2R 確変	20%
	10R 確変	35%
	10R 祝言（次回確変当たり確定）	5%
振り分け（右特図１）	10R 通常（時短100回）	40%
	2R 確変	20%
	10R 確変	20%
	10R 祝言（次回確変当たり確定）	20%
振り分け（右特図２）	10R 確変	75%
	10R 祝言（次回確変当たり確定）	25%

２．遷移図

めぞん一刻５は２回ループとなる「祝言」があるため少し特殊です。

【図１】めぞん一刻５の状態遷移図

緑の「右特図１」、オレンジの「10R祝言」は複数ありますがそれぞれ同じ状態です。後半の遷移は省略しています。

計算できるのか？と心配になるほど複雑に見えますが大丈夫です。

３．準備

【表２】各種計算

時短200回時引き戻し率	\(1-(1-\dfrac{1}{319.6})^{200}\)	0.4657
時短100回時引き戻し率	\(1-(1-\dfrac{1}{319.6})^{100}\)	0.2690
1R出玉	\(10\times(13-1)\)	120

４．初当たり時期待総ラウンド数

初当たりで４通りに分かれます。それぞれの起こる確率に得られる平均ラウンド数をかけて４つ合計すれば「初当たり時期待総ラウンド数 \(E_R\)」となります。
が、それは最後の最後です。

まずは「状態」の種類と内容を確認しておきましょう。
偶々４つになりましたが初当たり時の振り分けの４種とは異なることに注意してください。

Ａ　10R通常→時短200回（終了 or 右特図１）
Ｂ　10R通常→時短100回（終了 or 右特図１）
Ｃ　右特図１（10R通常→時短100回 or 2R/10R確変→右特図１）
Ｄ　10R祝言（10R確変→右特図１ or 10R祝言）

Ａが起きた時の「以降の」平均獲得ラウンド数をそのままＡと書くことにします。

\[ \begin{align} A =& 0.4657\times C + (1-0.4657) \times 0\\ \end{align} \] 前半は200回時短の引き戻し率0.4657と引き戻した時（=状態Ｃ）の平均獲得ラウンド数Ｃをかけています。
後半の(1-0.4657）は引き戻さなかった時ですが獲得ラウンドがありませんのでゼロをかけています。

そのような計算を表にまとめると次のようになります。

【表３】状態別平均獲得ラウンド数の計算

	起こる確率	ラウンド数
Ａ	0.4657	C	\(0.4657 \times C\)
	1-0.4657	0
Ｂ	0.2690	C	\(0.2690 \times C\)
	1-0.2690	0
Ｃ	0.4	10R + B	\(4R + 0.4 \times B\)	\(=8.4R \\+ 0.4 \times B \\+ 0.4 \times C \\+ 0.2 \times D\)	\(=14R \\+ \dfrac{2}{3} \times B \\+ \dfrac{1}{3} \times D \)
	0.2	2R + C	\(0.4R + 0.2 \times C\)
	0.2	10R + C	\(2R + 0.2 \times C\)
	0.2	10R + D	\(2R + 0.2 \times D\)
Ｄ	0.75	10R + C	\(7.5R+0.75 \times C\)	\(=10R \\+ 0.75 \times C \\+ 0.25 \times D\)	\(=\dfrac{40}{3} R + C \)
	0.25	10R + D	\(2.5R+0.25 \times D\)

ＣとＤの最後の式の導出は次のようにします。
Ｄの場合、途中までで、 \[ \begin{align} D =& 10R + 0.75 \times C + 0.25 \times D \\ \end{align} \] となっています。
\(0.25 \times D\)を左辺に移項して \[ \begin{align} 0.75 \times D =& 10R + 0.75 \times C \\ D =& \dfrac{40}{3}R + C \\ \end{align} \] Ｃも同様に右辺側のＣの項を左辺に移行して整理すると \[ \begin{align} C =& 14R + \dfrac{2}{3} \times B + \dfrac{1}{3} \times D \\ \end{align} \] となります。

ＢとＤはＣで表されているので、Ｃの式に代入します。 \[ \begin{align} C =& 14R + \dfrac{2}{3} \times B + \dfrac{1}{3} \times D \\ =& 14R + \dfrac{2}{3} \times (0.2690 \times C) + \dfrac{1}{3} \times (\dfrac{40}{3}R + C) \\ =& 14R + \dfrac{40}{9}R+(\dfrac{2}{3} \times 0.2690+\dfrac{1}{3}) \times C\\ (1-\dfrac{2}{3} \times 0.2690-\dfrac{1}{3})\times C=& 14R + \dfrac{40}{9}R\\ 0.4873\times C=& 18.444R\\\\ C=& 37.849R\\ \end{align} \] このＣをＡ，Ｂ，Ｄに代入して \[ \begin{align} A =& 0.4657 \times C \\ =& 0.4657 \times 37.849R \\ =& 17.63R\\\\ B =& 0.269 \times C \\ =& 0.269 \times 37.849R \\ =& 10.18R\\\\ D =& \dfrac{40}{3}R + C \\ =& \dfrac{40}{3}R + 37.849R \\ =& 51.18R\\ \end{align} \] これらを基に初当たり時期待総ラウンド数 \(E_R\) を計算すると \[ \begin{align} E_R=& 0.4 \times( 10R + A)+ 0.2 \times( 2R + C)+ 0.35 \times( 10R + C) + 0.05 \times( 10R + D)\\ =& 8.4R + 0.4 \times A+ 0.55 \times C+ 0.05 \times D\\ =& 8.4R + 0.4 \times 17.63R+ 0.55 \times 37.849R+ 0.05 \times 51.18R\\\\ =& 38.83R\\ \end{align} \]

で、冒頭の表のとおり、１ラウンド120玉とすれば期待出玉は 4,659玉、この場合の等価ボーダーは17.15rpkとなります。

シミュレーション結果は次のとおり。