第５回　倍々プッシュは好戦法か？

今回は博打のシーンでよく見かける倍々プッシュ戦法（？）について、その危険性を見てみたいと思います。
少しでも博打をされる方なら、この戦法が大負けの危険をはらんでいることは十分実感されていると思いますが、それを数字で示したいと思います。

１．倍々プッシュ戦法とは？

まず、この戦法について簡単に整理しておきましょう。
あるゲームで負けたとき、次の投資額を倍にして今の負けを取り戻そうというのがこの戦法です。この方法だと、いくら負けても最後に一回勝てば元が取れることになります（倍率２倍のゲームの場合）。
つまり、ある程度継続して実施されるゲームに対し、継続して投資する際の「負けないための（？）戦法」と考えることができます。

回	投資額	勝敗	収支
１	１	×	−１
２	２	×	−３
３	４	×	−７
４	８	○	＋１

２．良く見かける倍々プッシュ戦法

上では非常に単純な形で見てみましたが、実際はもう少し手を加えた戦法を良く見かけます。

• 麻雀のさしウマ
  最もポピュラーな使われ方でしょう。麻雀をされる方の多くは経験されているんじゃないでしょうか。
  この場合大きく２つの方法があります。ひとつは、単純にさしウマの額を倍にするもの。もう一つは、対象を複数にするもの、つまり相手を増やす方法で、２人に勝てば元が取れます。この２つを複合する方法もありますね。
• ルーレットの赤黒
  これもポピュラーな使われ方でしょう。でもこれも引き時が難しい。何しろ途中で勝っても最初の投資額分しか勝てていないのですから。
• ルーレットの大中小
  さて、これは上の２つとはやや話が違ってきます。ルーレットの大中小とは、出目が１〜12なら小、13〜24は中、25〜36は大とするもので配当は３倍です。この一つにかけ続けるのですが、配当が３倍のため、勝った時点で元返しということはありません。いくらか勝てるわけです。これも「勝ったら投資額を最初に戻す」がセオリーといえるでしょう。

【表】ルーレットの大中小の倍々プッシュ

回	投資額	勝敗	収支
１	１	×	−１
２	２	×	−３
３	４	×	−７
４	８	○	＋９

３．本題

さて、問題は「倍々プッシュ戦法が良い戦法か」ということですが、ポイントは「永続性」と「勝ち味」の２つと考えます。
まず「永続性」です。この戦法は最後に勝てば元が取れますので一見固そうですが、ゲームが「永遠」に続き、元手が「無尽蔵」にあることが条件になります。これは常識的に不可能でしょう。
次に「勝ち味」ですが、基本的に元返しの戦法ですので、連勝しないと「勝ち」になりません。また、勝ったら投資額を最初に戻しますので、大きく勝つことは非常に難しい戦法です。

では、永続的でない現実世界では、何回続けて負けられるでしょうか？

ここでは元手10,000円、最初の投資額100円のケースで考えてみましょう。何回続けて負けられるか直感的に思い浮かべて下さい。

５回ですか？　10回ですか？　20回ですか？

答えは６回です。

100×２＝200
100×２×２＝100×４＝400
100×２×２×２＝100×８＝800
100×２×２×２×２＝100×16＝1,600
100×２×２×２×２×２＝100×32＝3,200
100×２×２×２×２×２×２＝100×64＝6,400

10,000円も持ってるのに６連敗したらもう次はありません。

回	投資額	勝敗	収支
１	100	×	−100
２	200	×	−300
３	400	×	−700
４	800	×	−1500
５	1600	×	−3100
６	3200	×	−6300
７	6400	×	−12700

指数関数は恐るべき速度で大きくなります。それを実感できる例を次に挙げます。

４．指数関数の凄さ

初期値がいくら小さくても、それを倍々にしていくとすぐに大きな数になります。
それを実感できる有名（？）な例を紹介しましょう。

あなたは新聞紙を100回折り畳むことができますか？
100回折ったら厚さはどれくらいになるでしょうか？
また、月までの距離である38万kmにするには何回折ればいいと思いますか？
新聞紙の厚さは0.05mm（20枚で１mm）とします。

１回折ると、重なる枚数が２倍になるので、例えば３回折ったときの重なる枚数は

２³＝８

と計算できます。
さて10回折ったらどうでしょう。

２¹⁰（＝1024）

をおよそ

10³（＝1000）

とします。

厚さＴ＝0.05×２¹⁰
　　　≒0.05×10³（mm）
　　　＝5（cm）

ふーーん。という感じでしょうか。では100回折ると？

厚さＴ＝0.05×２¹⁰⁰
　　　＝0.05×(２¹⁰)¹⁰（mm）
　　　＝0.05×(10³)¹⁰（mm）
　　　＝0.05×10³⁰（mm）
　　　＝５×10²⁸（mm）
　　　＝５×10²⁵（m）
　　　＝５×10²²（km）
　　　＝５×10¹⁸（万km）
　　　＝（約）5×10⁹（光年）
　　　＝50億光年

です。びっくりしました？
では38万kmにするには？

答えは高々43回です。

厚さＴ＝0.05×２⁴³
　　　＝0.05×２³×(２¹⁰)⁴（mm）
　　　＝0.4×(10³)⁴（mm）
　　　＝0.4×10¹²（mm）
　　　＝４×10¹¹（mm）
　　　＝４×10⁸（m）
　　　＝４×10⁵（km）
　　　＝４×10（万km）
　　　＝40万km

折る回数	厚さ
1	0.1mm
10	５cm
20	50m
30	50km
40	５万km
50	５千万km
60	500億km
70	５光年
80	５千光年
90	500万光年
100	50億光年

すごいですね〜。倍々プッシュは程々にして下さい（笑）

さて、これで第５回の内容は終わりです。
あんまり数学講座とはいえない内容でしたね。